Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是邊AB的中點，聯結DE、CE，且DE⊥CE．設AD=x，BC=y．

（1）如果∠BCD=60°，求CD的長；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）聯結BD．如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）4；　（2）x＞0，且；　（3）

【解析】（1）首先過點D作DH⊥BC，垂足為點H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的長，然后設CH=x，則 CD=2x，利用勾股定理即可求得方程：x2+（2）2=4x2，解此方程即可求得答案；

（2）首先取CD的中點F，連接EF，由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可得：（y﹣x）2+12=（x+y）2，繼而求得答案；

（3）分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．

解：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H．

∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，

∴DH=AB=2，

在Rt△DHC中，

∵∠BCD=60°，

∴∠CDH=30°．

∴CD=2CH，

設CH=x，則 CD=2x．

利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2．

即得：x2+（2）2=4x2．

解得 x=2（負值舍去）．

∴CD=4；

（2）取CD的中點F，連接EF，

∵E為邊AB的中點，

∴EF=（AD+BC）=（x+y）．

∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°．

又∵DF=CF，

∴CD=2EF=x+y．

由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°．

∴AB∥DH．

又∵AB=DH，

∴四邊形ABHD是平行四邊形．

∴BH=AD=x．

即得 CH=|y﹣x|，

在Rt△DHC中，利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2．

即得 （y﹣x）2+12=（x+y）2．

解得，

∴所求函數解析式為．

自變量x的取值范圍是x＞0，且；

（3）當△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時，有兩種可能情況：CD=BD或CD=BC．

（ i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得 BH=CH．即得 y=2x．

利用，得．

解得，．

經檢驗：，，且不合題意，舍去．

∴；

（ ii）如果CD=BC，則 x+y=y．

即得 x=0（不合題意，舍去），

綜上可得：．

“點睛”此題屬于四邊形的綜合題．考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理等知識．注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的應用是解此題的關鍵．