Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，動點P從點B出發以1厘米/秒的速度沿BC方向運動，動點Q從點C出發以2厘米/秒的速度沿CD方向運動，P，Q兩點同時出發，當點Q到達點D時停止運動，點P也隨之停止，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）求線段CD的長。
（2）t為何值時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？
（3）伴隨P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l．
①t為何值時，l經過點C？
②求當l經過點D時t的值，并求出此時刻線段PQ的長。

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

∴CD==5厘米；

（2）

解：∵點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒，運動時間為t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于點H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴=，

∴=，

∴QH=t，

∴==(5-t)=-，

S四邊形ABCD=(AD+BC)AB=(1+5)×3=9，

分兩種情況討論：

①當S△PQC：S四邊形ABCD=1：3時，-，

即t2﹣5t+5=0，

解得：t1=,t2=（舍去）；

②S△PQC：S四邊形ABCD=2：3時，-，

即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程無解，

∴當t為秒時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分；

（3）

解：如圖2，

①當PQ的垂直平分線l經過點C時，可知PC=QC，

∴5﹣t=2t，

∴3t=5，

∴t=，

∴當t=秒時，直線l經過點C

②如圖3，

當PQ的垂直平分線l經過點D時，

可知DQ=DP，

連接DP，則在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2，

∴DQ2=DE2+EP2，

∴（5﹣2t）2=32+（t﹣1）2，

∴t1=1，t2=5（舍去），

∴BP=1厘米，

∴當t=1秒時，直線l經過點D，此時點P與點E重合；

如圖4，連接FQ，

∵直線l是△DPQ的對稱軸，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

設EF=x厘米，則QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米，

在Rt△FQC中，FQ2+QC2=FC2，

x2+22=（4﹣x）2，

∴x=，

∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2，

∴32+()2=DF2，

∴DF=厘米，

在Rt△DEF中，EG⊥DF，

∴==，

∴EG=，

∴EG=厘米，

∴PQ=2EG=厘米．

【解析】（1）作DE⊥BC于E，根據勾股定理即可求解；
（2）線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分，分兩種情況進行求解；
（3）①當PQ的垂直平分線經過點C進行分析解答；
②當PQ的垂直平分線l經過點D時進行分析解答．
此題考查了梯形中動點問題，用到了勾股定理，垂直平分線定理等，注意分情況討論。