Question

【題目】定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形是“等對角四邊形”， ， ， ．求， 的度數．

（2）在探究“等對角四邊形”性質時：

① 小紅畫了一個“等對角四邊形”（如圖2），其中， ，此時她發現成立．請你證明此結論．

② 由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

（3）已知：在“等對角四邊形”中， ， ，AB=AD=4，．求∠D和對角線的長．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）①證明見解析；②不正確；（3）∠D=90°，AC=8

【解析】試題分析：（1）根據四邊形ABCD是“等對角四邊形”得出∠D=∠B=80°，根據多邊形內角和定理求出∠C即可；

（2）①連接BD，根據等邊對等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據等腰三角形的判定得出即可；

②不正確．舉一個反例即可．

（3）分兩種情況：①當∠ADC=∠ABC=90°時，連接AC，易證⊿ABC≌⊿ADC，得出∠BCA=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，從而求出AC；

②當∠BCD=∠DAB=120°時，不成立．

試題解析：（1）∵等對角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，

∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，

∴．

（2）①如圖，連接BD，

∵AB＝AD，∴．

∵，∴．

∴CB＝CD．

②不正確，反例如圖，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD．

(3)分兩種情況：

①當∠ADC=∠ABC=90°時，連接AC，

∵AD=AB，

∴Rt⊿ADC≌Rt⊿ABC，

∴∠ACD=∠ACB=30°

在Rt⊿ABC中，∠ACB=30°，AB=4，

∴AC=2AB=2×4=8;

②當∠BCD=∠DAB=120°時，不成立.