Question

【題目】如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點是⊙外一點，且，連接交于點，延長交⊙于點．

⑴.證明：=；

⑵.若，證明：是⊙的切線；

⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點,連接;若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）

【解析】

（1）連接CO，易證△PCO≌△PAO，得PO為∠APC的角平分線，根據條件證出F為優弧中點，即可證明=；

（2）因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，設⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據三角函數表示出BC，AC的長度，由勾股定理表示出OD的長度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可證明是⊙的切線；

（3）連接AE，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，證出△PEA∽△PAB，可得，證出四邊形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得 ，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可

解：（1）證明：如圖，連接CO，

在△PCO和△PAO中，

∴△PCO≌△PAO（SSS），

∴∠CPO=∠APO，即PO為∠APC的角平分線，

∵PA=PC，

∴CD=AD，PF⊥AC，

∵AC為⊙O的弦，PF過圓心O，

∴F為優弧中點，

∴=，

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，且弦AB所對圓周角為∠ACB，

∴∠ACB=90°，

∵tan∠ABC=，

∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，

設⊙O的半徑為r，則AB=2r，

∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，

∴，

∵PA=PC=AB，

∴PA=PC=，

∴，

∴PO=PD+OD=3r，

∴，即PA⊥OA，

又∵OA是⊙O半徑，

∴PA是⊙O的切線；

（3）由（2）可得，

∴，

在Rt△PBA中，，連接AE，可得∠AEB=90°，

∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，

∴△PEA∽△PAB，

∴，

∴，

過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，如圖所示，

∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，

∴四邊形BCDH是矩形，

∴BH=CD=，

在Rt△BPH中，sin∠BPH=，

在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，

∴，

∴ND=PD-PN=，

在Rt△NED中，DE=，

∵，

∴DE=．