Question

已知平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請在給出的直角坐標系xOy中畫出△ABC，設AC交X軸于點D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請在x軸上找出點E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫出E點坐標，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設經過點B，且以CE所在直線為對稱軸的拋物線的頂點為F，求直線FA的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據圖示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，從而OD平分∠ADB．
（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，根據AO=2=CE，AO⊥x軸，CE⊥x軸可知AO∥CE，所以四邊形AOCE是平行四邊形．
（3）設過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，則利用待定系數法可解得直線AC的解析式為y=-x+2．所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數法可解拋物線解析式為y=-

1

6

x2+

4

3

x-2=-

1

6

(x-4)2+

2

3

，所以其頂點為F(4，

2

3

)．設經過F(4，

2

3

)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，利用待定系數法可解得直線FA的解析式為y=-

1

3

x+2．

解答：解：（1）畫圖如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
從而OD平分∠ADB．（3分）

（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，則E（4，0），
使四邊形AOCE為平行四邊形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x軸，CE⊥x軸?AO∥CE，
∴四邊形AOCE是平行四邊形．（7分）

（3）設過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，
則

b1=2 4k1+b1=-2

，?

k1=-1 b1=2

∴直線AC的解析式為y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐標為（2，0）．（9分）
由于拋物線關于CE對稱，
故D關于CE的對稱點D′（6，0）也在拋物線上，
所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有

c=-2 4a+2b+c=0 36a+6b+c=0

?

a=- 1 6 b= 4 3 c=-2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

6

x2+

4

3

x-2=-

1

6

(x-4)2+

2

3

．
其頂點為F(4，

2

3

)．（12分）
設經過F(4，

2

3

)，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，
則

4k2+b2= 2 3 b2=2

?

k2=- 1 3 b2=2

，
∴直線FA的解析式為y=-

1

3

x+2．（14分）

點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和平行四邊形的判定和角平分線的性質等．要熟練掌握才能靈活運用．