Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．

（1）求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）證明AP＝AQ．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）根據角平分線的性質作出BQ即可；

（2）先根據垂直的定義得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根據余角的定義得出∠AQP+∠ABQ=90°，根據角平分線的性質得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，據此可得出結論．

詳解：（1）如圖所示，BQ為所求作

（2）∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ

在△ABQ中，∠BAC=90°

∴∠AQP+∠ABQ=90°

∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°

∴在Rt△BDP中，∠CBQ+∠BPD=90°

∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD

又∵∠BPD=∠APQ

∴∠AQP=∠AQP ∴AP=AQ