Question

【題目】如圖所示，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC)是方程的兩個根，且A點坐標為(-6,0)．

（1）求此二次函數的表達式；

（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE.設AE的長為m，△CEF的面積為s，求S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝，m的取值范圍是0＜m＜8；（3）存在．當m＝4時，S有最大值，S最大值為8，點E的坐標為（2，0），△BCE為等腰三角形．

【解析】

（1）解方程求得：，根據題意，得點坐標為，點坐標為，由點坐標為，把三點坐標代入解析式列出方程組求解得的值即可；

（2）過點過點F作FG⊥AB，垂足為G，由，得出△BEF∽△BAC，利用相似比求出EF， sin∠FEG＝sin∠CAB＝， S＝S△BCES△BFE=，求出S與m之間的函數關系式；

（3）利用配方法將（2）中S與m之間的函數關系式寫出頂點式，可求S有最大值時，m的值，從而確定點E的坐標和△BCE的形狀．

（1）方程的兩個根為2和8.

由于點B在x正半軸上，點C在y軸正半軸上，且，所以，，故，點坐標為.

因為點坐標為，所以

解得：，.

故此二次函數的表達式為.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自變量m的取值范圍是0＜m＜8，

故答案為：S＝，m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴點E的坐標為（2，0）．

∴點C在線段BE的垂直平分線上，CE=CB,

∴△BCE為等腰三角形，

故答案為：存在，S最大值＝8，E為（2，0），△BCE為等腰三角形．