Question

【題目】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

（1）求證：△AEF∽△ABC；

（2）求這個正方形零件的邊長；

（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）48；（3）2400．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．

（2）根據正方形邊的平行關系，得出對應的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，從而得出邊長之比＝，＝，得到+＝+＝1，進而求出正方形的邊長；

（3）分別討論長方形的長和寬在BC上的情況，再根據相應得關系式EF BC +EG．

試題解析

（1）∵四邊形EGFH為矩形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）設正方形零件的邊長為x，

在正方形EFGH中，EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴即，

解得：x=48，

即：正方形零件的邊長為48；

（3）設長方形的長為x，寬為y，

當長方形的長在BC時，，，

，

當x=60時，

長方形的面積最大為2400．