Question

【題目】如圖，拋物線經過點，，直線交軸于點，且與拋物線交于、兩點．為拋物線上一動點（不與點，重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線上方時，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值；

（3）設為直線上的點，以，，，為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，請直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能構成，點F的坐標是（2，4）或或或．

【解析】

（1）根據待定系數法解答即可；

（2）求出OA和OE的長后易證，由相似三角形的性質可得，于是可轉化為，只要求出PN的最大值即可，可設點P的橫坐標為m，則PN的長可用含m的代數式表示，再利用二次函數的性質即可求出PN的最大值，進一步即可求出結果；

（3）分情況討論：當CE為邊時，則CE=PF，CE∥PF，易得CE=2，再分點在直線上方和點在直線下方，設點P的橫坐標為m，由PF=2可得關于m的方程，解方程即可求出m，進而可求得點F的坐標；當CE為對角線時，如圖，則CP=EF，CP∥EF，設點P的橫坐標為m，表示出點P、F坐標后，由平行四邊形的性質可得，從而可得關于m的方程，解方程即可求出m，進而可求得點F的坐標．

解（1）拋物線經過點，，

，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）在直線中，當時，，，

當時，，，∴，

軸，軸，

，，

，

，

，，

，

設，

軸，，

點在直線上方，

∴，

∴當時，有最大值，最大值為，此時的最大值=；

（3）由題意得：當CE為邊時，若以，，，為頂點的四邊形能構成平行四邊形，則CE=PF，CE∥PF，

當點在直線上方時，設，則，

∵，

∴，

∴，解得：m=0（舍去）或m=2，

此時點F的坐標是（2，4）；

當點在直線下方時，，

∴，解得：或，

此時點F的坐標是或；

當CE為對角線時，如圖，若以，，，為頂點的四邊形能構成平行四邊形，則CP=EF，CP∥EF，

此時可設，則由可得，

由得：，

解得：m=0（舍去）或m=2，

此時點F的坐標是；

綜上所述，以，，，為頂點的四邊形能構成平行四邊形，且點F的坐標是（2，4）或或或．