Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，，，分別以，為邊作矩形，直線交于點，交直線于點．

（1）求直線的解析式及點的坐標．

（2）如圖2，為直線上一動點，點，點為直線上兩動點（在上，在下），滿足，當最大時，求的最小值，并求出此時點的坐標．

（3）如圖3，將繞著點順時針旋轉，記旋轉后的三角形為，線段所在的直線交直線于點（不與、重合），交軸于點，在平面內是否存在一點，使得以四點形成的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說出理由．

Answer 1

【答案】（1），H(,)；（2）；（3）存在，Q(,)

【解析】

（1）如圖1中，作HK⊥OA于K．求出A，C兩點坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式，解直角三角形求出HK，KO即可求出點H的坐標．

（2）由題意|PC-PB|≤BC，推出當點P在CB的延長線上時，|PC-PB|的值最大，此時P′（3，），作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此時，作G關于直線AC的對稱點M，連接DM交AC于E，GM交AC于，此時P′F+EF+DE的值最�。�求出直線DM，AC的解析式，構建方程組即可解決問題．

（3）如圖3中，當NC=NM時，可得菱形MNCQ．解直角三角形求出ON，求出菱形的邊長即可解決問題．

（1）如圖1中，作HK⊥OA于K

∵OA=，OC=OA=3，

∴A(0，)，B(3，0)，

設直線AC的解析式為y=kx+b，則有

解得

∴直線AC的解析式為

∵tan∠OAC=

∴∠OAC=

∵OD⊥AC于H，

∴∠AHO=

∴∠AOH=

∴OH=OAcos=

∵HK⊥OA，

∴HK=OH=，OK=HK=

∴H(，)．

故答案為：，H(，)

（2）如圖2中，

∵|PCPB|BC，

∴當點P在CB的延長線上時，|PCPB|的值最大，此時P′(3，)，

作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此時

作G關于直線AC的對稱點M，連接DM交AC于E，GM交AC于，此時P′F+EF+DE的值最小．

∵GJ=JM，設M(m，n)，

則有

解得

∴M(0，)，∵D(1，)，

∴直線DM的解析式為

由

解得

∴

故答案為：

（3）如圖3中，

當NC=NM時，可得菱形MNCQ

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=

∴∠ONM=∠NCM+∠NMC=

∵OH′=OH=，

∴ON=OH′cos=，

∴CN=CQ=HN=HQ=3，

∴Q(，)

故答案：存在，Q(，)