Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長線上一點，且BD=1，連接DA，點P是射線DA上的動點．
（1）求證DA是⊙O的切線；
（2）DP的長度為多少時，∠BPC的度數最大，最大度數是多少？請說明理由．
（3）P運動的過程中，（PB+PC）的值能否達到最小，若能，求出這個最小值，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

連接AO，

∵∠=30°，

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△ABO是等邊三角形，AB=BD=1，

∴∠ADC=∠DAB= ∠ABO=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠DAO=90°，

∴DA是⊙O的切線

（2）解：如圖1，

當點P運動到A處時，

即DP=DA= 時，∠BPC的度數達到最大，為90°．

理由如下：若點P不在A處時，不妨設點P在DA的延長線上的時，

連接BP，與⊙O交于一點，記為點E，

連接CE，

則∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°

（3）解：如圖2，

作點C關于射線DA的對稱點C′，

則BP+PC=BP+PC′，

當點C′，P，B三點共線時，（BP+PC′）的值達到最小，最小值為BC′．

過點C′作DC的垂線，垂足記為點H，連接DC′，

在Rt△DCP中，∠PDC=30°，

∴△DCC′為等邊三角形，

故H為DC的中點，

∴BH=DH﹣DB= CD﹣DB= ﹣1= ，C'H= DH=

在Rt△BC'H中，根據勾股定理得，BC'= = ．

∴（BP+PC）的最小值為 ．

【解析】（1）先判斷出△ABO是等邊三角形，進而得出∠ADC=30°，即可得出∠DAO=90°即可得出結論；（2）判斷出∠BPC最大時的點P的位置；（3）利用對稱性確定出PB+PC=BC'利用勾股定理計算即可．