Question

【題目】如圖所示，延長△ABC的各邊，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，連結DE，EF，FD，得到△DEF為等邊三角形．

求證：(1)△AEF≌△CDE；

(2)△ABC為等邊三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)關鍵是證出CE=AF,可由AE=AB,AC=BF,兩兩相加可得.再結合已知條件可證出△AEF≌△CDE .
(2)有(1)中的全等關系,可得出∠AFE=∠CED,再結合△DEF是等邊三角形,可知∠DEF=60°,從而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而△ABC是等邊三角形.

(1)∵BF＝AC，AB＝AE，

∴BF＋AB＝AC＋AE，即FA＝EC.

∵△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE.

又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.

(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.

∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝60°.

∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，

∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形．