Question

【題目】已知：AB是⊙O的弦，點C是 的中點，連接OB、OC，OC交AB于點D．
（1）如圖1，求證：AD=BD；
（2）如圖2，過點B作⊙O的切線交OC的延長線于點M，點P是 上一點，連接AP、BP，求證：∠APB﹣∠OMB=90°；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DP、MP，延長MP交⊙O于點Q，若MQ=6DP，sin∠ABO= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OA，

∵C是 的中點，

∴ ，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OA=OB，

∴OD⊥AB，AD=BD；

（2）證明：如圖2，延長BO交⊙O于點T，連接PT

∵BT是⊙O的直徑

∴∠BPT=90°，

∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，

∵BM是⊙O的切線，

∴OB⊥BM，

又∠OBA+∠MBA=90°，

∴∠ABO=∠OMB

又∠ABO=∠APT

∴∠APB﹣90°=∠OMB，

∴∠APB﹣∠OMB=90°；

（3）解：如圖3，連接MA，

∵MO垂直平分AB，

∴MA=MB，

∴∠MAB=∠MBA，

作∠PMG=∠AMB，

在射線MG上截取MN=MP，

連接PN，BN，

則∠AMP=∠BMN，

∴△APM≌△BNM，

∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，

延長PD至點K，

使DK=DP，

連接AK、BK，

∴四邊形APBK是平行四邊形；

AP∥BK，

∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，

由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）

=90°，

∴∠APB+∠MBA=180°

∴∠PBK=∠MBA，

∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，

∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，

∴∠NBP=∠KBP，

∵PB=PB，

∴△PBN≌△PBK，

∴PN=PK=2PD，

過點M作MH⊥PN于點H，

∴PN=2PH，

∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，

∵sin∠PMH= ，sin∠ABO= ，

∴ ，

∴ ，設DP=3a，則PM=5a，

∴MQ=6DP=18a，

∴ ．

【解析】（1）如圖1，連接OA，利用垂徑定理和圓周角定理可得結論；（2）如圖2，延長BO交⊙O于點T，連接PT，由圓周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切線的性質定理和垂徑定理可得∠ABO=∠OMB，等量代換可得∠ABO=∠APT，易得結論；（3）如圖3，連接MA，利用垂直平分線的性質可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射線MG上截取MN=MP，連接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性質可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延長PD至點K，使DK=DP，連接AK、BK，易得四邊形APBK是平行四邊形，由平行四邊形的性質和平行線的性質可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函數的定義可得sin∠PMH= ，sin∠ABO= ，設DP=3a，則PM=5a，可得結果．