Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD對角線AC上一動點，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延長線于點G，連接CE和AG．
（1）求證：△ADG≌△CDE；
（2）當CE平分∠ACD時，求tan∠AGD．

Answer 1

【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°﹣∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°﹣∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°﹣∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG與△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
設DG為k，則ED=k，AE=k，AD=AE+ED=（+1）k，
tan∠AGD==+1
【解析】（1）根據正方形的性質和全等三角形證明△ADG與△CDE全等即可；
（2）設DG為k，利用三角函數的正切值解答即可．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．