Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，分析下列五個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=；⑤S四邊形CDEF=S△ABF ， 其中正確的結論有（　　）

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正確，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正確；
∵tan∠CAD=，
而CD與AD的大小不知道，
∴tan∠CAD的值無法判斷，故④錯誤；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF=S△ABF ， S△ABF=S矩形ABCD
∴S△AEF=S矩形ABCD ，
又∵S四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD ，
∴S四邊形CDEF=S△ABF ， 故⑤正確；
所以正確的是：①②③⑤.
故選B．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．