Question

【題目】已知一次函數的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．

（1）求點B的坐標；

（2）求直線AE的表達式；

（3）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．

（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點E”改變為“點E是線段OB上的一個動點（點E不與點O、B重合）”，過點B作BF⊥AE，垂足為F．設OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB為等腰三角形，S△OBF=8； （4）y=（0＜x＜8）．

【解析】試題分析: （1）如圖1中，設OE=x，作EM⊥AB于M．首先證明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根據EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可．

（2）根據S△AEB= ，即可解決問題．

（3）利用面積即可解決，方法類似（2）．

試題解析: （1）如圖1中，

∵一次函數y=-x+6的圖象與坐標軸交于A、B點，

∴A（0，6），B（8，0），設OE=x，作EM⊥AB于M．

∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，

∴OE=EM=x，

在△AEO和△AEM中，

，

∴△AEO≌△AEM，

∴AM=AO=6，

∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，

∴AB=10，

∴BM=4，

在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，

∴x2+42=（8-x）2，

∴x=3，

∴E（3，0），

設直線AE的解析式為y=kx+b則

，解得，

∴直線AE的解析式為y=-2x+6．

（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，

∵S△AEB=EBOA=AEBF，

∴BF=．

（3）如圖2中，

在Rt△AOE中， ，

∴AE=，

∵S△AEB=EBOA=AEBF，

∴BF=，

∴y=（0＜x＜8）．