Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點E在AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的直徑為10，sin∠DAC= ，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD．

∵OD、OA是⊙O的半徑，

∴OA=OD．

∴∠OAD=∠ODA．

∵點D是⊙O的切點，

∴∠ODC=90°

又∵∠C=90°，

∴OD∥AC．

∴∠ODA=∠DAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC．

（2）解：如圖2所示：連接ED．

∵⊙O的半徑為5，AE是圓O的直徑，

∴AE=10，∠EDA=90°．

∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC= ，

∴AD= ×10=4 ．

∴DC= ×4 =4，AC= ×4 =8．

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得：BD= ．

【解析】（1）連接OD．先依據平行線的判定定理證明OD∥AC，然后依據平行線的性質和等腰三角形的性質證明∠OAD=∠DAC，于是可證明AD平分∠BAC．（2）連接ED、OD．由題意可知AE=10．接下來，在△ADA中，依據銳角三角函數的定義可求得AD的長，然后在△ADC中，可求得DC和AC的長，由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性質可列出關于BD的方程．