Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分別交AE，AF于M，N．下列結論：①AF⊥BG；②BN=NF；③；④．其中正確的結論的序號是______．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

①易證△ABF≌△BCG，即可解題；

②易證△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解題；

③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解題；

④連接AG，FG，根據③中結論即可求得S四邊形CGNF和S四邊形ANGD，即可解題．

①∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD，

∵BE=EF=FC，CG=2GD，

∴BF=CG，

∵在△ABF和△BCG中，

,

∴△ABF≌△BCG，

∴∠BAF=∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA=90°，

∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正確；

②∵在△BNF和△BCG中，∠CBG=∠NBF，∠BCG=∠BNF=90°，

∴△BNF∽△BCG，

∴，

∴BN=NF；②錯誤；

③作EH⊥AF，令AB=3，則BF=2，BE=EF=CF=1，

AF==，

∵S△ABF=AFBN=ABBF，

∴BN=，NF=BN=，

∴AN=AF-NF=，

∵E是BF中點，

∴EH是△BFN的中位線，

∴EH=，NH=，BN∥EH，

∴AH=，

，解得：MN=，

∴BM=BN-MN=，MG=BG-BM=，

∴；③正確；

④連接AG，FG，根據③中結論，

則NG=BG-BN=，

∵S四邊形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+=，

S四邊形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=，

∴S四邊形CGNF≠S四邊形ANGD，④錯誤.

故選A．