Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC為直徑作 交AB于點D，E為BC的中點，連接DE并延長交AC的延長線于點F．
（1）求證：DE是 的切線；
（2）若CF=2，DF=4，求 直徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OD、CD．

∵AC為 的直徑，

∴△BCD是直角三角形，

∵E為BC的中點，

∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCD+∠DCE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，

∴DE是 的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為 ，

∵∠ODF=90°，∴ ，

即 ，解得： ，

∴ 的直徑為6．

【解析】（1）連接OD、CD；易由圓周角定理的推論，可得△BCD是直角三角形，由E為BC的中點，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，易得BE=CE=DE，∠CDE=∠DCE；又由半徑OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，利用等量代換可得∠BCA=90°，切線得證。
（2）易由（1）可得∠ODF=90°利用勾股定理可得半徑r=3，所以直徑為6.