Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標為（a，0），（0，b），且滿足（a﹣4）2+＝0，現將OA平移到BC的位置，連接AC，點P從點B出發，沿BC﹣CA運動，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒．

（1）求出a和b的值，并寫出點C的坐標；

（2）求點P在運動過程中的坐標（用含t的式子表示）．

（3）點Q以每秒3.5個單位長度的速度從點A出發，在AO間往返運動，（兩個點同時出發，當點P到達點A停止時點Q也停止），在運動過程中，直接寫出當PQ∥OB時，點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝4，b＝2，（4，2）；（2）（4，6﹣t）；（3）點P的坐標為（，2）或（，2）或（，2）或（4，）

【解析】

（1）根據非負數的性質求出a和b的值，進而得到點C的坐標；

（2）當t為0到4時，點P在線段BC上，易求其坐標；當t為4到6時，點P在線段CA上，易求其坐標；

（3）分兩種情況：①點P在線段BC上，由于OQ∥BP，所以當OQ＝BP時，四邊形OBPQ是矩形，則有PQ∥OB．此時又分三種情況：Ⅰ）點Q的運動路線是A﹣O；Ⅱ）點Q的運動路線是A﹣O﹣A；Ⅲ）點Q的運動路線是A﹣O﹣A﹣O；②點P在線段CA上時，Q只能在A點，求出此時t的值，進而得到點P的坐標．

解：（1）∵（a﹣4）2+＝0，

∴a﹣4＝0，2a﹣3b﹣2＝0，

∴a＝4，b＝2，

∴點A，B的坐標分別為（4，0），（0，2），

∵四邊形OACB是矩形，

∴點C的坐標是（4，2）；

（2）∵點P為從B出發沿BC﹣CA運動的一動點，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒，

∴當t為0到4時，點P在線段BC上，BP＝t，所以P點坐標可表示為（t，2），

當t為4到6時，點P在線段CA上，AP＝6﹣t，所以P點坐標可表示為（4，6﹣t）；

（3）分兩種情況：

①點P在線段BC上時，BP＝t，0≤t≤4，當OQ＝BP時，PQ∥OB．

(Ⅰ)點Q的運動路線是A﹣O，

∵AQ＝3.5t，

∴OQ＝OA﹣AQ＝4﹣3.5t，

∵OQ＝BP，

∴4﹣3.5t＝t，

解得：t＝，

∴點P的坐標為（，2）；

(Ⅱ)點Q的運動路線是A﹣O﹣A，

OQ＝3.5t﹣4，

∵OQ＝BP，

∴3.5t﹣4＝t，

解得：t＝，

∴點P的坐標為（，2）；

(Ⅲ)點Q的運動路線是A﹣O﹣A﹣O，

OQ＝12﹣3.5t，

∵OQ＝BP，

∴12﹣3.5t＝t，

解得：t＝，

∴點P的坐標為（，2）；

②點P在線段CA上時，4＜t＜6，Q只能在A點，

此時t＝，

6﹣，

∴點P的坐標為（4，）；

綜上所述，所求點P的坐標為（，2）或（，2）或（，2）或（4，）．