Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與邊AB，BC分別交于點D，E．過E的直線與⊙O相切，與AC的延長線交于點G，與AB交于點F．

（1）求證：△BDE為等腰三角形；
（2）求證：GF⊥AB；
（3）若⊙O半徑為3，DF=1，求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ACED是⊙O的內接四邊形，

∴∠ACB+∠ADE=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，

∴∠BDE=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠BDE，

∴△BDE為等腰三角形

（2）證明：連結OE，

∵直線FG與⊙O相切，

∴∠OEG=90°，

∵OC=OE，

∴∠OEC=∠ACB，

∵∠B=∠ACB，

∴∠B=∠OEC，

∴OE∥AB，

∴∠AFG=∠OEG=90°，

即GF⊥AB

（3）解：設CG=x．

∵△BDE為等腰三角形，GF⊥AB，

∴BF=DF=1，AF=AB﹣BF=AC﹣BF=5，

∵OE∥AB，

∴△GOE∽△GAF，

∴ = ，

∴ = ，

解得x= ，

即CG= ．

【解析】（1）由四邊形ACED是⊙O的內接四邊形，得到∠ACB+∠ADE=180°，由于∠BDE+∠ADE=180°，得到∠BDE=∠ACB，即可得到結論；
（2）連結OE，根據切線的性質得到∠OEG=90°，根據等腰三角形的性質得到∠OEC=∠ACB，根據平行線的性質即可得到結論
（3）設CG=x．根據等腰三角形的性質得到BF=DF=1，AF=AB-BF=AC-BF=5，由相似三角形的判定和性質即可得到結論．

【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形即可以解答此題．