Question

【題目】如圖，在等邊中，點分別在邊上，，線段交于點

求證：

連接，當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）證明△ABE△CAD即可；

（2）過點C作CH⊥AE，垂足為H，通過證明△BFC△CHA，得到CF=AH，再證明∠FCH=30°，由30°角所對直角邊等于斜邊的一半，得到CF=2FH，進而可以得到AF=FH，即可得到結論．

（1）∵△ABC等邊三角形ABC中，∴∠B=∠BCA=∠CAB=60°，AB=CA=BC．

在△ABE和△CAD中，∵BE=AD，∠B=∠CAB，AB=CA，∴△ABE△CAD，∴AE=CD；

（2）過點C作CH⊥AE，垂足為H，∴∠CHA=90°，∴∠BFC=90°，∠BFC=∠CHA．

∵△ABE△CAD，∴∠BAE=∠ACD．

∵∠CAB-∠BAE=∠BCA-∠ACD，即∠CAE=∠BCD．

在△BFC和△CHA中，∵∠BFC=∠CHA，∠BCD=∠CAE，BC=CA，∴△BFC△CHA，∴CF=AH．

∵∠CFE=∠CAE+∠ACD =∠CAE+∠BAE=∠CAB=60°．

∴∠FCH=180°-∠CHA-∠CFE =180°-90°-60°=30°，∴CF=2FH，∴AH=2FH，即AF+FH=2FH，∴AF=FH，∴CF=2AF．