Question

如圖，拋物線與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．

（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），B（﹣1，0）；（2）；（3）存在，P（，）．

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）關鍵是求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；
（3）本問為存在型問題．可以先假設存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．
試題解析：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線上，∴，解得：a=﹣1，b=1，∴拋物線的解析式為：，拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關于y軸對稱，∴B（﹣1，0）；
（2）設過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為，可得：，解得k=﹣1，b=1，∴．∵BD∥CA，∴可設直線BD的解析式為，∵點B（﹣1，0）在直線BD上，∴，得，∴直線BD的解析式為：．將代入拋物線的解析式，得：，解得：x₁=2，x₂=﹣1，∵B點橫坐標為﹣1，則D點橫坐標為2，D點縱坐標為y=﹣2﹣1=﹣3，∴D點坐標為（2，﹣3）．如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD=．

（3）假設存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，
則有，即，∴PE=3BE．設OE=m（m＞0），則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，∴點P的坐標為（﹣m，3﹣3m），∵點P在拋物線上，∴，解得m=1或m=2，當m=1時，點E與點B重合，故舍去；當m=2時，點E在OB左側，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．因此，此種情況不存在；

（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，則有，即，∴BE=3PE．設OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE=BE=，∴點P的坐標為（，）．∵點P在拋物線上，∴，解得或m=，∵m＞0，故舍去，∴m=，點P的縱坐標為：，∴點P的坐標為（，）．
綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（，）．