Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，以為圓心，長為半徑畫弧交于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接AG并延長交于點，連接交于點，過點作于點，連接.若，，則下列結論：①四邊形是菱形；②；③；④；⑤.正確的有（　　 ）

A.①③④B.①③⑤C.②③④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據尺規作圖得到直線AE是∠FAB的角平分線，也是線段BF的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質、菱形的判定定理即可判斷；②根據菱形的性質，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AE的長，即可判斷；③利用菱形的面積公式“對角線乘積的一半”可求得，即可判斷；④根據，可求得的長，即可判斷；⑤在Rt△AHE中，根據直角三角形的性質可求得HO的長，即可判斷．

①由尺規作圖的過程可知，直線AE是∠FAB的角平分線，也是線段BF的垂直平分線，
∴AF=AB，EF=EB，∠FAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BA=BE=AF=FE，
∴四邊形ABEF是菱形，故①正確；

②∵四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，AO=OE，BO=OF=3，

在Rt△ABO中，AB=4，BO =3，∠AOB=90，

∴，

∴AE=2AO=，故②錯誤；

③∵四邊形ABEF是菱形，

∴，故③正確；

④∵四邊形ABEF是菱形，

∴BE=AB=4，

∵，

∴，故④正確；

⑤∵四邊形ABEF是菱形，

∴O是E的中點，

∴在Rt△AHE中，HO是斜邊AE的中線，

∴HO，故⑤錯誤；

綜上，①③④正確，

故選：A．