Question

【題目】已知關于的一元二次方程.

（1）求證：無論為任何實數，此方程總有兩個實數根；

（2）若方程的兩個實數根為、，滿足，求的值；

（3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根、，求的內切圓半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）1

【解析】

（1）將二次項系數，一次項系數，常數項分別代入根的判別式△中，并進行整理，可得，恒大于等于0，故此一元二次方程無論為任何實數時，此方程總有兩個實數根

（2）根據根與系數的關系可知，，將進行分式的加法，再將，代入即可求得k.

（3）解一元二次方程可得，，由題意△的斜邊為5，通過勾股定理可求得，k=4，根據直角三角形中的內切圓半徑為r=（a+b-c）/2 (a,b為直角邊，c為斜邊)，代入即可求得半徑.

（1）證明：∵，

無論為任何實數時，此方程總有兩個實數根.

（2）由題意得：，，

即，

解得：；

（3）解：

解方程得：，

根據題意得：，即

設直角三角形的內切圓半徑為，如圖，

由切線長定理可得：，

直角三角形的內切圓半徑=；