Question

【題目】在圖1、圖2、圖3中，直線MN與線段AB的延長線或AB交于點O，點C和點D在直線MN上，且∠ACM =∠BDM = 45°．

（1）在圖1中，點O在AB的延長線上，且AO=3BO，請直接寫出AC與BD的數量關系與位置關系；

（2）在圖2中，點O在AB上，且AO=BO，寫出AC與BD的數量關系與位置關系并證明．

（3）在圖3中，點O在AB上，且AO=kBO，求的值．

Answer 1

【答案】（1） BD∥AC; AC=3BD；（2） AC⊥BD；AC=BD；（3）k.

【解析】

試題分析：（1）由∠ACM=∠BDM=45°得出BD∥AC，得出△ACO∽△BEO，利用對應邊成比例得出答案即可；

（2）過B作BE⊥BD交OD于點E，根據平行線的性質得到∠BED=45°，根據鄰補角的定義得到∠OEB=∠ACO=135°，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）過點B作BE∥CA交DO于E，根據平行線的性質得到∠BEO=∠ACO．根據相似三角形的性質得到．根據已知條件即可得到結論．

試題解析：（1）∵∠ACM=∠BDM=45°，

∴BD∥AC，

∴△ACO∽△BEO，

∴，

又∵AO=3BO，

∴，

即AC=3BD；

（2）過B作BE⊥BD交OD于點E，

∵∠ACM=∠BDM=45°，BE⊥BD，

∴∠BED=∠BDM=45°，

∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，

∴AC∥BE，

∵BE⊥BD，

∴AC⊥BD，

在△ACO和△BEO中，

，

∴△ACO≌△BEO，（AAS）

∴AC=BE，

∴AC=BD；

延長AC交DB的延長線于F，如圖2，

∵BE∥AC，

∴∠AFD=90°．

∴AC⊥BD；

（3）如圖3，過點B作BE∥CA交DO于E，

∴∠BEO=∠ACO．

又∵∠BOE=∠AOC，

∴△BOE∽△AOC．

∴．

又∵AO=kBO，

由（2）的方法易得BE=BD，

∴=k．