Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標；
（3）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=8，并求出此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴方程x2+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函數解析式是y=x2﹣2x﹣3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸x=1，頂點坐標（1，﹣4）

（3）解：設P的縱坐標為|yP|，

∵S△PAB=8，

∴ AB|yP|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|yP|=4，

∴yP=±4，

把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1±2 ，

把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴點P在該拋物線上滑動到（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）時，滿足S△PAB=8

【解析】（1）由于拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，那么可以得到方程x2+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，然后利用根與系數即可確定b、c的值．（2）根據S△PAB=8，求得P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P點的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．