Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕交CD邊于點E．

（1）求證：四邊形BCED′是菱形；

（2）若點P時直線l上的一個動點，請計算PD′+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用翻折變換的性質以及平行線的性質得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進而求出四邊形BCED′是平行四邊形，根據折疊的性質得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到結論；

（2）由四邊形DAD′E是平行四邊形，得到DAD′E是菱形，推出D與D′關于AE對稱，連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，過D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG，DG，根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：（1）∵將ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四邊形DAD′E是平行四邊形，∴DE=AD′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC，∴CE=D′B，CE∥D′B，∴四邊形BCED′是平行四邊形；

∵AD=AD′，∴DAD′E是菱形，（2）∵四邊形DAD′E是菱形，∴D與D′關于AE對稱，連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，過D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=，DG=，∴BG=，∴BD==，∴PD′+PB的最小值為．