Question

【題目】在直角坐標系中，點O為坐標原點，A（1,1），B（1,3），將線段AB平移到直線AB的右邊得到線段CD（點C與點A對應，點D與點B對應），點D的坐標為（m，n），且m＞1.

（1）如圖1，當點C坐標為（2,0）時，請直接寫出三角形BCD的面積： ；

（2）如圖2，點E是線段CD延長線上的點，∠BDE的平分線DF交射線AB于點F.求證；

（3）如圖3，線段CD運動的過程中，在（2）的條件下，n=4.

①當時，在直線AB上點P，滿足三角形PBC的面積等于三角形CDF的面積，請直接寫出點P的坐標： ；

②在x軸上的點Q，滿足三角形QBC的面積等于三角形CDF的面積的2倍，請直接寫出點Q的坐標： .（用含m的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）①P1(1，5)， P2(1，1)；②Q(2m，0).

【解析】分析：（1）根據點A和點C的坐標得出平移的方向和距離，進而得出點D的坐標，根據三角形的面積公式即可得出答案；

（2）根據平移的性質得出AB∥CD，AC∥BD，根據平行線的性質可得∠AFD =∠FDE，∠C =∠BDE，根據角平分線的定義等量代換即可得出結論；

（3）①由題意D（4，4），C（4，2），所以CD=2，進而可以求出△CDF的面積，然后根據△PBC的面積和△CDF的面積相等求出PB的長，即可得出P的坐標；

②由題意得：C（m，2），D（m，4），則CD=2，

△CDF的CD邊上的高為m-1，

進而可以用m表示出△CDF的面積，

設Q（x，0），

分x＜1，1＜x＜m，x＞m三種情況表示出△BCQ的面積，

然后根據三角形QBC的面積等于三角形CDF的面積的2倍列出方程求出x即可．

詳解：（1）∵A（1，1）平移至點C（2，0），

∴點B（1，3）的對應點D（2，2），

∴CD=2，B到CD的距離為1，

所以△BCD的面積為：×2×1=1．

故答案為：1；

（2）證明：∵ 線段AB平移得到線段CD（點C與點A對應，點D與點B對應）,

∴ AB∥CD，AC∥BD.

∴ ∠AFD =∠FDE，∠C =∠BDE.

∵ DF是∠BDE的角平分線,

∴ ∠BDE =2∠FDE .

∴ ∠BDE =2∠AFD.

∴ ∠C =2∠AFD.

（3）①由題意D（4，4），C（4，2），

所以CD=2，直線AB與CD間的距離為3，

∴S△CDF=×2×3=3，

∴S△PBC=PB·3=3，

∴PB=2，

∵點P在直線AB上，且AB⊥x軸，

∴點P的坐標為（1，5）或（1，1）．

故答案為：P1(1,5)， P2(1,1)；

②由題意得：C（m，2），D（m，4），則CD=2，

△CDF的CD邊上的高為m-1，

∴S△CDF=×2(m-1)=m-1，

設Q（x，0），

當x＜1時，如圖所示：

S△QBC=S梯形BGHC+S△BQG-S△QCH

=(2+3)(m-1)+ (1-x)·3-(m-x)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴點Q的坐標為（2-m，0）；

當1＜x＜m時，如圖所示：

S△QBC=S梯形BGHC-S△BQG-S△QCH

=(2+3)(m-1)- (x-1)·3-(m-x)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴點Q的坐標為（2-m，0）；

當x＞m時，如圖所示：

S△QBC=S梯形BGHC-S△BQG+S△QCH

=(2+3)(m-1)- (x-1)·3-(x-m)·2

==2(1-m)，

解得：x=2-m，

∴點Q的坐標為（2-m，0）；

綜上點Q的坐標為（2-m，0）．

故答案為：（2-m，0）．

三種情況表示出△BCQ的面積，

然后根據三角形QBC的面積等于三角形CDF的面積的2倍列出方程求出x即可．

Q(2-m， 0)或Q(7m-6，0)．