Question

【題目】如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當(dāng)t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+2；（2）t=2時，MN有最大值4;（3）(0,6),(0,2)或(4,4)．

【解析】試題分析：

（1）先由直線分別交y軸、x軸于點(diǎn)A、B這一條件求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將所求坐標(biāo)代入拋物線列出關(guān)于的值即可得到所求拋物線的解析式；

（2）如圖1，由題意可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)N在（1）中所求拋物線上，可用含“t”的代數(shù)式表達(dá)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，結(jié)合第一象限中，點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，可用含“t”的代數(shù)式表達(dá)出MN的長，把所得式子配方，即可得到所求答案；

（3）由（2）中答案可得求得對應(yīng)的點(diǎn)A、M、N的坐標(biāo)，如圖2分析可知點(diǎn)D有三種可能，其中兩種情況點(diǎn)D在y軸上，結(jié)合AD=MN，即可求得兩個符合要求的點(diǎn)D1、D2的坐標(biāo)；由圖可知第三個符合要求點(diǎn)D就是直線D1N和D2M的交點(diǎn)，求出兩直線的解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得第三個符合要求的點(diǎn)D的坐標(biāo).

試題解析：

(1)∵分別交y軸、x軸于A.、B兩點(diǎn)，

∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,2)，B(4,0)，

將x=0，y=2代入y=x+bx+c得c=2，

將x=4，y=0，c=2代入y=x+bx+c得0=16+4b+2，解得b=，

∴拋物線解析式為： ，

(2)如圖1，由題意可知，直線MN即是直線，

∵點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)N在拋物線上，

∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為、，

∵在第一象限中，點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，

∴MN=，

∴當(dāng)時，MN最長=4；

(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).

以A. M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示：

(i)當(dāng)D在y軸上時，設(shè)D的坐標(biāo)為(0，a)

由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，

從而D1為(0，6)或D2(0，2)，

(ii)當(dāng)D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點(diǎn)，

由D1、D2、M、N的坐標(biāo)可求得直線D1N的解析式為：y=x+6，直線D2M的解析式為：y=x2，

由 解得 ，

∴D3的坐標(biāo)為：(4，4)，

綜上所述，所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，(0，2)或(4，4).