Question

（本小題滿分14分）
已知：如圖，拋物線與y軸交于點C（0，）， 與x軸交于點A、 B，點A的坐標為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PD∥BC，交AC于點D，連接CP．當△CPD的面積最大時，求點P的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點Q，與直線BC交于點F，點M 的坐標為（，0）．問：是否存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形？若存  在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）或解析:
（1）由題意，得
解得.……2分
∴所求拋物線的解析式為：．.……3分
(2)設點P的坐標為(x，0)，過點D作DG⊥x軸于點G．
∴由，得．
∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（-4，0）．.……4分
∴AB=6，BP=2-x．
∵點P在線段AB上，
∴．.……5分
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ABC
∴   
即，∴．
∴

.……8分
又，
∴當時，有最大值3，此時P．.……9分
（3）存在．
在△OMF中．
①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．
又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．
∴∠BMF=90°．此時，點F的坐標為（-2，-2）．
由，得．
此時，點Q的坐標為：．.……11分
②若OF=MF，過點F作FE⊥x軸于點E，
由等腰三角形的性質得：，∴BE=3，
∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．
由，得．
此時，點Q的坐標為：．.……13分
③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，
∴點O到BC的距離為，而OF=OM=2<，
此時，不存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．.……14分
綜上所述，存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．所求點Q的坐標為：
或．