Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，∠APB是平分線分別交BC，AB于點D、E，交⊙O于點F，∠A=60°，并且線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2 =0的兩根（k為常數）．

（1）求證：PABD=PBAE；

（2）求證：⊙O的直徑長為常數k；

（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）tan∠FPA=2﹣ .

【解析】試題分析：

（1）由PB切⊙O于點B，根據弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可證得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得PABD=PBAE；

（2）易證得BE=BD，又由線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根（k為常數），即可得AE+BD=k，繼而求得AB=k，即：⊙O的直徑長為常數k；

（3）由∠A=60°，并且線段AE、BC的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根（k為常數），可求得AE與BD的長，繼而求得tan∠FPB的值，則可得tan∠FPA的值．

試題解析：

（1）證明：如圖，

∵PB切⊙O于點B，

∴∠PBD=∠A，

∵PF平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∴△PBD∽△PAE，

∴PB：PA=BD：AE，

∴PABD=PBAE；

（2）證明：如圖，

∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．

又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，

∴∠BED=∠BDE．

∴BE=BD．

∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根（k為常數），

∴AE+BD=k，

∴AE+BD=AE+BE=AB=k，

即⊙O直徑為常數k．

（3）∵PB切⊙O于B點，AB為直徑．

∴∠PBA=90°．

∵∠A=60°．

∴PB=PAsin60°=PA，

又∵PABD=PBAE，

∴BD=AE，

∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根（k為常數）．

∴AEBD=2，

即AE2=2，

解得：AE=2，BD=，

∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，

在Rt△PBA中，PB=ABtan60°=（2+）×=3+2．

在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，

∵∠FPA=∠BPF，

∴tan∠FPA=2﹣．