Question

【題目】如圖，已知點A（4，0），B（0，4），把一個直角三角尺DEF放在△OAB內，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動．其中∠EFD=30°，ED=2，點G為邊FD的中點．

（1）求直線AB的解析式；

（2）如圖1，當點D與點A重合時，求經過點G的反比例函數y=（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑動的過程中，經過點G的反比例函數的圖象能否同時經過點F？如果能，求出此時反比例函數的解析式；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）y=；（3）y=．

【解析】

試題分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可；

（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點D坐標，得出點F、G坐標，把點G坐標代入反比例函數求出k即可；

（3）設F（t，-t+4），得出D、G坐標，設過點G和F的反比例函數解析式為y=，用待定系數法求出t、m，即可得出反比例函數解析式．

試題解析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，4），

∴，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=-x+4；

（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=2，DF=4，

∵點D與點A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，2），

∴G（3，），

∵反比例函數y=經過點G，

∴k=3，

∴反比例函數的解析式為：y=；

（3）經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F；理由如下：

∵點F在直線AB上，

∴設F（t，-t+4），

又∵ED=2，

∴D（t+2，-t+2），

∵點G為邊FD的中點．

∴G（t+1，-t+3），

若過點G的反比例函數的圖象也經過點F，

設解析式為y=，

則，

整理得：（-t+3）（t+1）=（-t+4）t，

解得：t=，

∴m=，

∴經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F，這個反比例函數解析式為：y=．