Question

【題目】已知正方形，點為邊的中點.

（1）如圖1，點為線段上的一點，且，延長，分別與邊，交于點，.

①求證：；

②求證：.

（2）如圖2，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接延長交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：(1)①利用ASA判定證明兩個三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性質證明；（2）構造直角三角形，求一個角的正切值.

試題解析：(1)①證明：∵四邊形為正方形，∴，，

又，∴，又，∴，

∴(ASA)，∴.

②證明：∵，點為中點，∴，∴，

又∵，從而，又，∴，

∴，即，由，得.

由①知，，∴，∴.

(2)解：(方法一)

延長，交于點(如圖1)，由于四邊形是正方形，所以，

∴，又，∴，

故，即，

∵，，∴，由知，，

又，∴，不妨假設正方形邊長為1，

設，則由，得，

解得，(舍去)，∴，

于是,

(方法二)

不妨假設正方形邊長為1，設，則由，得，

解得，(舍去)，即，

作交于(如圖2)，則，∴，

設，則，，∵，即，

解得，∴，從而，此時點在以為直徑的圓上，

∴是直角三角形，且，

由(1)知，于是.