Question

【題目】在探索三角形全等的條件時，老師給出了定長線段，且長度為的邊所對的角為 小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個三角形重合在一起（如圖2），其中發現它們不全等，但他們對該圖形產生了濃厚興趣，并進行了進一步的探究：

　　

（1）當時（如圖2），小明測得，請根據小明的測量結果，求的大小；

（2）當時，將沿翻折，得到（如圖3），小明和小亮發現的大小與角度有關，請找出它們的關系，并說明理由；

（3）如圖4，在（2）問的基礎上，過點作的垂線，垂足為點，延長到點，使得，連接，請判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；理由見解析；（3）是等腰三角形且BA=BF，理由見解析．

【解析】

（1）先根據三角形的內角和得∠C=70°，由等腰三角形的性質得∠BDC=70°，從而得∠CBD的度數，可得結論；
（2）設∠BDC=∠C=α，根據三角形的內角和與三角形外角的性質分別表示∠ABD和∠DBC，相加可得結論；
（3）作垂線BT，根據角平分線的性質得：BE=BT，證明Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），得AE=AT，證明BE是AF的垂直平分線，可得結論．

（1）如圖2，△ABC中，∠A=n°=45°，∠ABC=65°，
∴∠C=180°-45°-65°=70°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=70°，
∴∠DBC=180°-2×70°=40°，
∴∠ABD=65°-40°=25°；
（2）如圖3，∠D'BC=180°-2n°，理由是：
設∠BDC=∠C=α，
∴∠DBC=180°-2α，
△ADB中，∠BDC=∠DAB+∠ABD，
即α=n°+∠ABD，
∴∠ABD=α-n°，
由翻折得：∠ABD'=∠ABD=α-n°，
∴∠D'BC=∠D'BD+∠DBC=2∠ABD+∠DBC=2（α-n°）+（180°-2α）=180°-2n°；
（3）△ABF是等腰三角形，且BF=AB，理由是：
如圖4，過B作BT⊥AC于T，

由折疊得：∠D'BA=∠DAB，
∵BE⊥AF，
∴BE=BT，
在Rt△ABE和Rt△ABT中，
∵ ，
∴Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），
∴AE=AT，
∵AD=AD'，
∴DT=D'E=TC，
∴(AD+AC)=AT，
∵EF= (AD+AC)，
∴AT=EF=AE，
∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分線，
∴BF=AB，
∴△ABF是等腰三角形．