Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，M，N兩點分別從A，B兩點以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD邊上沿逆時針方向運動，其中有一點運動到點D停止，當運動時間為秒時，△MBN為等腰三角形．

Answer 1

【答案】 或（12﹣4 ）或
【解析】解：①如圖1，
點M在AB上，點N在BC上時，t＜4，BM=10﹣2t，BN=t，
∵BM=BN，
∴10﹣2t=t，
解得t= ，
②如圖2，

點M在BC上，點N在CD上時，5＜t＜7，BM=2t﹣10，CM=4﹣（2t﹣10）=14﹣2t，
CN=t﹣4，
在Rt△MCN中，MN2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣10）2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
整理得，t2﹣24t+112=0，
解得t1=12﹣4 ，t2=12+4 （舍去），
③如圖3，

點M、N都在C、D上時，t＞7，若點M在點N的右邊，則CM=2t﹣14，MN=t﹣（2t﹣14）=14﹣2t，
此時BM2=（2t﹣14）2+42 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣14）2+42=（14﹣2t）2 ， 無解，
若點M在點N的左邊，則CN=t﹣4，
MN=（2t﹣14）﹣（t﹣4）=t﹣10，
此時BN2=（t﹣4）2+42 ，
∵BN=MN，
∴（t﹣4）2+42=（t﹣10）2 ，
整理得，t= （不符合題意，舍去），
④如圖④，

點M在AB上，點N在CD上時，BM=10﹣2t，CN=t﹣4，
由等腰三角形三線合一的性質，CN= BM，
所以，t﹣4= （10﹣2t），
解得t= ，
綜上所述，當運動時間為 或（12﹣4 ）或 秒時，△MBN為等腰三角形．
故答案為： 或（12﹣4 ）或 ．
分①點M在AB上，點N在BC上時，BM=BN，列出方程其解即可，②點M在BC上，點N在CD上時，表示出BM、CM、CN，再根據勾股定理列式表示出MN2 ， 然后根據BM=MN列出方程其解即可；③點M、N都在C、D上時，表示出MN、CM，再根據勾股定理分兩種情況列式表示出BM（或BN），然后根據BM=MN（或BN=MN）列出方程求解即可，④點M在AB上，點N在CD上時，根據等腰三角形的性質，CN= BM，然后列式求解即可．