Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90°，得到線段CQ，連接BP，DQ．

(1)、如圖a，求證：△BCP≌△DCQ；

(2)、如圖，延長BP交直線DQ于點E．

①如圖b，求證：BE⊥DQ；

②如圖c，若△BCP為等邊三角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）①證明見試題解析；②△DEP為等腰直角三角形．

【解析】試題分析：(1)、根據正方形性質得出BC=DC，根據旋轉圖形的性質得出CP=CQ以及∠PCB=∠QCD，從而得出三角形全等；(2)、①、根據全等得出∠PBC＝∠QBC，設BE和CD交點為M，根據對頂角得出∠DME=∠BMC，從而說明BE⊥QD；②、根據等邊三角形的性質得出PB=PC=BC，∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°，則∠PCD=30°，根據BC=DC，CP=CQ得出△PCD為等腰三角形，然后根據△DCQ為等邊三角形，從而得出∠DEP=90°，從而得出答案.

試題解析：(1)、∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC

又∵將線段CP繞點C順時針旋90°得到線段CQ，∴CP=CQ,∠PCQ＝90°∴∠PCD+∠QCD＝90°

又∵∠PCB+∠PCD=90° ∴∠PCB=∠QCD

在△BCP和△DCQ中 BC=DC，CP=CQ，∠PCB=∠QCD ∴△BCP≌△DCQ

(2)、①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC＝∠QBC

設BE和CD交點為M ∴∠DME=∠BMC ∠MED=∠MCB=90°∴BE⊥QD

②△DEP為等腰直角三角形，

∵△BOP為等邊三角形 ∴PB=PC=BC ∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°

∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°

又∵BC＝DC CP=CQ∴PC＝DC DC＝CQ ∴△PCD是等腰三角形

△DCQ是等邊三角形 ∴∠CPD＝∠CDP＝75°∠CDQ＝60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°

∠EDP=180°-75°-60°="45" °∴∠EPD=∠EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°

∴△DEP是等腰直角三形