Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC、BC．點P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點A向點C運動，同時，點Q沿BO以每秒2個單位長度的速度由點B向點O運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，連接PQ．過點Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點D，與BC交于點E，連接PD，與BC交于點F．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）求直線BC的函數表達式；

（2）①直接寫出P，D兩點的坐標（用含t的代數式表示，結果需化簡）

②在點P、Q運動的過程中，當PQ=PD時，求t的值；

（3）試探究在點P，Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得點F為PD的中點？若存在，請直接寫出此時t的值與點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）①P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），②；（3）t=3，F（，）．

【解析】試題分析：（1）先求出B、C兩點的坐標，進而求出直線BC的函數表達式；

（2）①過點P作PG⊥x軸于點G ，由AO=3，BO=9，OC=，得到∠CAO=60°，∠APG=30°，從而有AP=t， AG=，PG=，得到P的坐標．由OQ=，得到D的橫坐標，由D在拋物線上，得到D的縱坐標；

②過點P作PG⊥x軸于點G，PH⊥QD于點H，得到四邊形PGQH是矩形，從而有QD=2HQ=2PG，解關于t的方程即可；

（3）由中點坐標公式和F在直線BC上得到，解得t=3．把t=3代入得到F的坐標．

試題解析：（1）由y=0，得，解得：，，∴點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（9，0）．由x=0，得，∴點C的坐標為（0， ）．

設直線BC的函數表達式為：，∴ ，解得：，∴直線BC的函數表達式為： ；

（2）①過點P作PG⊥x軸于點G ．∵A（-3，0），B（9，0），C（0， ）∴AO=3，BO=9，OC=，∴tan∠CAO= ，∴∠CAO=60°，∴∠APG=30°，∵AP=t，∴AG=，PG=，∴OG=3-，∴P（，）．∵OQ=，∴D的橫坐標為，∵D在拋物線上，∴D的縱坐標為=，∴D D（， ）．

綜上所述：P（，），D（， ）；

②過點P作PG⊥x軸于點G，PH⊥QD于點H．∵QD⊥x軸，∴四邊形PGQH是矩形，∴HQ=PG．∵PQ=PD，PH⊥QD，∴QD=2HQ=2PG．

∵P、D兩點的坐標分別為P（，），D（， ），∴=，解得：（舍去），，∴當PQ=PD時，t的值為．

（3）∵F為PD的中點，且P（，），D（， ），由中點坐標公式得：F（， ），∵F在直線BC上，∴，∴，解得：t=3．

當t=3時，=，=，∴F（，）．