Question

已知拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，0）和B（0，5）．
（1）求這個拋物線的解析式．
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C．拋物線的頂點為D，是求出點C、D的坐標和△BCD的面積．
（3）點P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點．是否存在點P，使得線段BC把△PCH分成面積相等的兩部分？若存在，請求出點P的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A、B的坐標代入可得出b、c的值，繼而得出這個拋物線的解析式；
（2）由拋物線解析式可求出點C、點D的坐標，過頂點D作DE⊥x軸交線段BC于E點，求出點E坐標，然后根據S_△BCD=S_△BDE+S_△DEC，即可得出答案．
（3）若BC分△PCH為面積相等兩部分，則需PH與線段BC的交點是線段PH的中點，設點P（x，0），則Q（x，x+5），H（x，-x²-4x+5），根據HQ=QP，可得關于x的方程，解出即可．

解答：解：（1）把（1，0）（0，5）代入y=-x²+bx+c得：

0=-1+b+c c=5

，
解得：

b=-4 c=5

，
故二次函數解析式為y=-x²-4x+5．

（2）令y=0，則0=-x²-4x+5，
解得：x₁=1，x₂=-5，
∴C（-5，0），
由y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9得頂點D（-2，9），
過頂點D作DE⊥x軸交線段BC于E點如圖①，
由點B、C得直線BC解析式為y=x+5，
∴當x=-2時，y=3，
∴E（-2，3），
∴DE=6，
∴S△BCD=S△BDE+S△CDE=

1

2

×5×6=15．


（3）存在．
理由如下：
若BC分△PCH為面積相等兩部分，則需PH與線段BC的交點是線段PH的中點，
若設PH與線段BC的交點為Q，如圖②，
設點P（x，0），則Q（x，x+5），H（x，-x²-4x+5），
由HQ=QP得，-x²-4x+5-（x+5）=x+5，
解得：x₁=-1，x₂=-5（舍去），
∴存在這樣的點P，其坐標為P（-1，0）．

點評：本題考查二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積，每一小問的解法可能不止一種，同學們可以自己探索，例如：本題第二小問，可以求出四邊形DCOB的面積，然后減去△OBC的面積求△BCD的面積．