Question

【題目】如圖，過A(8，0)、B(0，8)兩點的直線y1與直線y2＝x+2交于點C.直線y2與x軸、y軸分別交于點D和點E.

(1)動點M從A點出發沿AB運動，運動的速度是每秒1個單位長度：當點M運動到B點時停止運動，設M運動時間為t秒，△ADM的面積為S，求S與t的函數關系式.

(2)在y軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)S＝t(0＜t≤8)；(2)存在，點P的坐標為(0，﹣6)或(0，6)或(0，5﹣)或(0，5+)或(0，).

【解析】

(1)先求出點D坐標，進而得出AD＝10，再判斷出△AMH∽△ABO，進而用t表示出MH，最后用三角形面積公式即可得出結論；

(2)利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而聯立直線CD解析式求出點C坐標，分三種情況，用兩邊相等建立方程求解即可得出結論.

(1)如圖，針對于直線y2＝x+2，

令y＝0，則x+2＝0，

∴x＝﹣3，

∴D(﹣2，0)，

∵A(8，0)，

∴AD＝8﹣(﹣2)＝10，

∵A(8，0)、B(0，8)，

∴AB＝＝16，

由運動知AM＝t，過點M作MH⊥x軸于H，

∴MH∥OB，

∴△AMH∽△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴MH＝t，

∴S＝S△ADM＝ADDH＝×10×t＝t(0＜t≤8)；

(2)設直線AB的解析式為y＝kx+b，

將A(8，0)、B(0，8)代入y＝kx+b中，得，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+8，

∵直線y2＝x+2交于點C，

聯立得， ，

解得， ，

∴C(3，5)，

設P(0，m)，

∵A(8，0)，

∴AC2＝(8﹣3)2+(0﹣5)2＝100，AP2＝64+m2，CP2＝9+(m﹣5)2，

∵△ACP為等腰三角形，

∴①當AC＝AP時，

∴AC2＝AP2，

∴100＝64+m2，

∴m＝±6，

∴P(0，﹣6)或(0，6)，

②當AC＝CP時，

∴AC2＝CP2，

∴100＝9+(m﹣5)2，

∴m＝5±，

∴P(0，5﹣)或(0，5+)

③當AP＝CP時，AP2＝CP2，

∴64+m2＝9+(m﹣5)2，

∴m＝，

∴P(0，)，

即：點P的坐標為(0，﹣6)或(0，6)或(0，5﹣)或(0，5+)或(0，).