Question

【題目】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM、DM．

（1）當點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當點D在CA延長線上時（如圖二）（1）中結論仍然成立，請補全圖形（不用證明）；

（3）當ED∥AB時（如圖三），上述結論仍然成立，請加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）如圖一中，延長使得，連接、，先證明，再證明即可解決問題．

（2）補充圖形如圖二所示，延長交的延長線于，只要證明，再證明是等腰直角三角形即可．

（3）如圖三中，如圖一中，延長使得，連接、，，先證明，再證明即可．

（1）證明：如圖一中，延長DM使得MN=DM，連接BN、CN．

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，

∴DE∥NB，

∴∠ADE=∠ABN=90°，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，

∴∠CBN=45°=∠A，

在△ACD和△BCN中，，

∴△ACD≌△BCN，

∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，

∴∠DCN=∠ACB=90°，

∴△DCN是等腰直角三角形，

DM=MN，

∴DM=CM．DM⊥CM

（2）解：如圖二所示

延長DM交CB的延長線于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，

∵∠EDC+∠DCN=180°，

∴DE∥CN，

∴∠EDM=∠N

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN=AD，DM=MN，

∴CD=CN，

∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，

∴DM=CM．DM⊥CM．

（3）證明：如圖三中，如圖一中，延長DM交AB于N連接CN．

∵DE∥AB，

∴∠MBN=∠MED，

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN=AD，DM=MN，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AED+∠BAE=180°，

∴∠BAE=135°，

∵∠BAC=∠EAD=45°，

∴∠DAC=∠CBN=45°

在△ACD和△BCN中，，

∴△ACD≌△BCN，

∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，

∴∠DCN=∠ACB=90°，

∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，

∴DM=CM．DM⊥CM