Question

【題目】兩個三角板ABC，DEF按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上(假設圖形中所有的點、線都在同一平面內)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.現固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動．設三角板平移的距離為(cm)，兩個三角板重疊部分的面積為 (cm2)．

(1)當點C落在邊EF上時，＝________cm；

(2)求關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N，直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】(1)10;(2)見解析；（3） .

【解析】（1）由銳角三角函數，得到BG的長，進而得出GE的長，又矩形的性質可求解；

（2）分類討論：①當0≤t＜4時，根據三角形的面積公式可得答案；②當4≤t＜8時，③當時，根據面積的和差求解；

（3）根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據三角形的中位線，可得NG的長，根據銳角三角函數，可得MG的長，然后根據線段的和差求解.

詳解:（1）如圖：

作CG⊥AB于G點．

在Rt△ABC中，由AC=4，∠ABC=30，得

BC==4．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=6．

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=6+4=10cm，

故答案為：10 .

（2）①當時，如解圖

∵∠GDB＝60°，∠GBD＝30°，

∴DB＝x，DG＝x，BG＝x，

重疊部分的面積y＝DG·BG＝×x×x＝x2　　　　　　

②時，如解圖

BD＝x，DG＝x，BG＝x，BE＝x－4，

EH＝ (x－4)

重疊部分的面積y＝S△BDG－S△BEH＝DG·BG－BE·EH，

即y＝×x×x－ (x－4)× (x－4)，　　　　　　　　　　　　

化簡得：

③當時，如解圖

AC＝4，BC＝4，BD＝x，BE＝x－4，

EG＝ (x－4) 　　　

重疊部分的面積y＝S△ABC－S△BEG＝AC·BC－BE·EG，

即y＝×4×4－ (x－4)× (x－4)，

化簡得：

綜上所述，

（3）