Question

如圖，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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，有如下結論：①BC的邊長等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于

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a2；③折疊后，以A、B為端點的線段與中線CD平行且相等，其中正確的結論是______．

Answer 1

如圖，設B′D與AC相交于O，
∵CD是AB邊的中線，
∴S_△ACD=S_△BCD=

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2

S_△ABC，
∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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，
∴點O是AC、B′D的中點，
∴四邊形ADCB′是平行四邊形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故③正確；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四邊形BCB′D是平行四邊形，
由翻折變換的性質得，BC=B′C，
∴平行四邊形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=

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AB=

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×2a=a，故①正確；
假設折疊前的△ABC的面積可以等于

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a²，
設點C到AB的距離為h，
則

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×2ah=

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a²，
解得h=

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a，

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a÷tan30°=

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a÷

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=a，
∴垂足為AB的中點D，
∴翻折后點A、B重合，不符合題意，
∴假設不成立，故②錯誤．
綜上所述，正確的結論有①③．
故答案為：①③．