Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出下列四個結論：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四邊形AEPF，上述結論正確的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的可得AE=CF，再根據等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半．

∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①②正確；

∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE，

∴△EFP是等腰直角三角形，故③錯誤；

∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正確，

故選C．