Question

【題目】在梯形中，，，，，，點E、F分別在邊、上，，點P與在直線的兩側，，，射線、與邊分別相交于點M、N，設，．

（1）求邊的長；

（2）如圖，當點P在梯形內部時，求關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（3）如果的長為2，求梯形的面積．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜)；（2）或32

【解析】

（1）如下圖，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的長度，從而得出HB的長，進而得出AD的長；

（2）如下圖，利用等腰直角三角形的性質，可得PQ、PR的長，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函數關系，最后根據圖形特點得出取值范圍；

（3）存在2種情況，一種是點P在梯形內，一種是在梯形外，分別根y的值求出x的值，然后根據梯形面積求解即可．

（1）如下圖，過點D作BC的垂線，交BC于點H

∵∠C=45°，DH⊥BC

∴△DHC是等腰直角三角形

∵四邊形ABCD是梯形，∠B=90°

∴四邊形ABHD是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC－HC=6

∴AD=6

（2）如下圖，過點P作EF的垂線，交EF于點Q，反向延長交BC于點R，DH與EF交于點G

∵EF∥AD,∴EF∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP⊥PF

∴△EPF是等腰直角三角形

同理,還可得△NPM和△DGF也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ⊥EF,∴PQ=QE=QF

∴PQ=

同理，PR=

∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR

∴8－x=

化簡得：y=－3x+10

∵y＞0，∴x＜

當點N與點B重合時，x可取得最小值

則BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+，解得x=1

∴1≤x＜

（3）情況一：點P在梯形ABCD內，即（2）中的圖形

∵MN=2，即y=2，代入（2）中的關系式可得：x==AE

∴

情況二：點P在梯形ABCD外，圖形如下：

與（2）相同，可得y=3x－10

則當y=2時，x=4，即AE=4

∴