Question

已知，如圖1，在平面直角坐標系中，OA=OB=OC=2，點P從C點出發，沿y軸正方向以1個單位/秒的速度向上運動，連接PA、PB，D為AC的中點．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設點P運動的時間為t秒，問當t為何值時，DB與DP垂直且相等？
（3）如圖2，若PA=AB，在第一象限內有一動點Q，連接QA、QB、QP，且∠PQA=60°，問：當Q在第一象限內運動時，∠APQ+∠ABQ的度數和是否會發生改變？若不改變，請說明理由，并求其值．

Answer 1

分析：（1）先求出B（2，0），C（0，2），再設直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線BC的解析式；
（2）當t=2秒，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．為此，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，根據等腰直角三角形及角平分線的性質，利用SAS證明△PCD≌△BOD，則DP=DB，∠PDC=∠BDO，進而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，連接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等邊三角形，進而得出△APS≌△BPQ，從而得出∠APQ+∠ABQ=60°+∠APQ+∠PAS=180°得出答案．

解答：解：（1）∵OB=OC=2，
∴B（2，0），C（0，2）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C兩點的坐標代入，
得

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直線BC的解析式為y=-x+2；

（2）當t=2秒，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．理由如下：
如圖1，連接OD，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，
∵A（-2，0），C（0，2），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∵D為AC的中點，
∴OD平分∠AOC，OD=DC=

1

2

AC，
∴DM=DN=OM=ON=m．
在△PCD與△BOD中，

PC=BO=OC ∠PCD=∠BOD=135° DC=DO= 1 2 AC

，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB；

（3）當Q在第一象限內運動時，∠APQ+∠ABQ的度數和不會發生改變．理由如下：
如圖2，在QA上截取QS=QP，連接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等邊三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ（SAS），
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠ABQ=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PAS）=60°+120°=180°．

點評：此題是一次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數的解析式，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，等邊三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質等知識，難度適中．根據已知作出輔助線從而證明三角形全等是解決問題的關鍵．