Question

【題目】在平面直角坐標系中，點坐標為，點在軸的負半軸上，點、均在線段上，且，點的橫坐標為．在中，若軸，軸，則稱為點、的“榕樹三角形”．

（1）若點坐標為，且，則點、的“榕樹三角形”的面積為 ．

（2）當點、的“榕樹三角形”是等腰三角形時，求點的坐標．

（3）在（2）的條件下，作過、、三點的拋物線．

①若點必為拋物線上一點，求點、的“榕樹三角形”面積與之間的函數關系式．

②當點、的“榕樹三角形”面積2，且拋物線與點、的“榕樹三角形”恰有兩個交點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點B的坐標為；（3）①；②m=-2或-4≤m≤-3

【解析】

(1)待定系數法求直線AB解析式，根據“榕樹三角形”新定義和三角形面積即可求出結論；

(2)依據等腰直角三角形性質即可求得點B的坐標；

(3)①先利用待定系數法求得線段AB的表達式，再根據“榕樹三角形”新定義求出點M的坐標，再利用三角形面積即可求得S與m之間的函數關系式；

②拋物線與點、的“榕樹三角形”恰有兩個交點時，可分兩種情況：點P在對稱軸右側或點P在對稱軸左側（包括對稱軸上），分別進行討論即可．

解：(1)設直線AB解析式為：y=kx+b，則

，解得

∴直線AB解析式為：，

當x=-1時，，

∴P(-1,)，

∵PM∥x軸，BM∥y軸，

∴M(-4, )，

∴PM=3,BM=，

∴．

(2)根據題意得，，，

，

，

，

∴點B的坐標為．

(3)①首先，確定自變量取值范圍為，

由（2）易得，線段的表達式為，

點的坐標為，

由于拋物線經過、兩點，

拋物線的對稱軸為直線，

點的坐標為，

，

，

故，

②∵點P、Q的“榕樹三角形”面積為2，

∴，

∴PM=2，

∴M(m-2，-m-6)，

∵拋物線與點、的“榕樹三角形”恰有兩個交點，

∴可分兩種情況：點P在對稱軸右側或點P在對稱軸左側（包括對稱軸上），

若點P在對稱軸右側時，m>-3，此時兩個交點關于直線x=-3對稱，

∴，

解得：m=-2或m=-4，

∵m>-3，

∴m=-2，

若點P在對稱軸左側（包括對稱軸上），即m≤-3，

此時兩個交點分別在PM、QM邊上，

∴m-2≥-6，即m≥-4，

∴-4≤m≤-3，

綜上所述，m的取值范圍為m=-2或-4≤m≤-3．