Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點E，連接AC，BC，點F是BA延長線上的一點，且∠FCA＝∠B.

(1)求證：CF是⊙O的切線；

(2)若AE＝4，tan∠ACD＝，求FC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析

【解析】分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出∠OCF=90°，進而得出答案；
（2）根據正切的性質求出EC的長，然后利用垂徑定理求出圓的半徑，再根據等邊三角形的性質，利用勾股定理求出即可．

詳解：(1)證明：連接OC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.

∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.

又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，

∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，

∴FC⊥OC，

∴FC是⊙O切線．

(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=，

設OA＝OC＝r，則OE＝OA－AE＝r－4.

在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，

即r2＝(r－4)2＋(4)2，解得r＝8.

∴OE＝r－4＝4＝AE.

∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.

在Rt△FOC中，

∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，

∴OF＝2OC＝16，

∴FC＝.