Question

【題目】已知，，點是直線上一個動點（不與重合），點是邊上一個定點， 過點作，交直線于點，連接，過點作，交直線于點．

如圖①，當點在線段上時，求證：．

在的條件下，判斷這三個角的度數和是否為一個定值？ 如果是，求出這個值，如果不是，說明理由．

如圖②，當點在線段 的延長線上時，（2）中的結論是否仍然成立？如果不成立， 請直接寫出之間的關系．

）當點在線段的延長線上時，（2）中的結論是否仍然成立？如果不成立，請直接 寫出之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）這三個角的度數和為一個定值，是，證明詳見解析；（3）成立；（4）不成立，正確結論為：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【解析】

（1）根據兩條直線平行，內錯角相等，得出；兩條直線平行，同位角相等，得出，即可證明．

（2）過點作交BE于點H，根據平行線性質定理，，，即可得到答案．

（3）過點作交BE于點H，得到，因為，所以，得到，即可求解．

（4）過點作交BE于點H，得∠DEC=∠EGH，因為，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．

（1）∵

∴

∵

∴

∴

（2）這三個角的度數和為一個定值，是

過點作交BE于點H

∴

∵

∴

∴

∴

即

（3）過點作交BE于點H

∴

∵

∴

∴

∴

即

故的關系仍成立

（4）過點作交BE于點H

∴∠DEC=∠EGH

∵

∴

∴∠HGF+∠BFG=180°

∵∠HGF=∠EGF-∠EGH

∴∠HGF=∠EGF-∠DEC

∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

∴（2）中的關系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之間關系為：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

故答案為：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°