Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A＋∠CDB＝90°，過點A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，在△AOD中，OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90°
∴∠ODA＋∠CDB＝90°，
∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD與⊙O相切．

（2）解：連接DE，∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC．

又∵D是AC的中點，
∴AE＝BE．
∴△AED∽△ABC．

∴AC∶AB＝AD∶AE．
∵AD：AE=4:5
∴AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，則BC＝3x．
∵BC＝6，
∴AB＝10，

∴AE＝5，
∴⊙O的直徑為5．

【解析】 (1)連接OD,根據同圓的半徑相等得出OA＝OD， 根據等邊對等角得出∠A＝∠ODA，根據等量代換及平角的定義得出∠BDO=90°，從而得出BD與⊙O相切；
（2）（1）連接DE，根據直徑所對的圓周角是直角得出∠ADE＝90°，根據同位角相等兩直線平行得出DE∥BC．根據三角形中位線的判定知AE＝BE，從而判斷出△AED∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例得出AC∶AB＝AD∶AE，從而找到AC,AB的關系，從而得出該圓的直徑。